Goldbachzahl

So funktioniert das Script

Das Script hat zwei klar getrennte Aufgaben. Die Funktion istPrim() beantwortet für eine einzelne Zahl die Frage „Primzahl oder nicht?". Die Funktion zerlegen() bereitet die Eingabe auf, probiert alle in Frage kommenden Summanden durch und schreibt die Fundstellen ins Textfeld. Beides steckt in einer sofort ausgeführten Funktion, damit die Namen im Script nicht mit anderen Scripts der Seite kollidieren.

function istPrim(zahl) {
  if (zahl === 2 || zahl === 3) return true;
  if (zahl < 2 || zahl % 2 === 0) return false;
  const wurzel = Math.sqrt(zahl);
  for (let teiler = 3; teiler <= wurzel; teiler = teiler + 2) {
    if (zahl % teiler === 0) return false;
  }
  return true;
}

Der Primzahltest arbeitet mit dem Rest-Operator %: zahl % teiler liefert den Rest der Division. Ist er 0, geht die Division auf — die Zahl hat also einen Teiler und ist keine Primzahl. Zuerst werden 2 und 3 als Sonderfälle abgehakt, dann alles unter 2 und alle geraden Zahlen aussortiert. Danach probiert die Schleife nur noch ungerade Teiler durch, denn gerade Teiler sind schon ausgeschlossen.

Der eigentliche Trick steckt in Math.sqrt(zahl): Die Schleife läuft nur bis zur Quadratwurzel. Das genügt, weil ein Teiler oberhalb der Wurzel immer einen Partner unterhalb der Wurzel hätte — den hätte die Schleife also längst gefunden. Bei 10.000 spart das den Unterschied zwischen 100 und 5.000 Prüfungen, und genau davon lebt die Geschwindigkeit des Scripts.

if (zahl < 5) {
  zahl = 6;
}
if (zahl % 2 !== 0) {
  zahl = zahl + 1;
}

Bevor gesucht wird, bringt das Script die Eingabe in eine brauchbare Form. Zu kleine Zahlen werden auf 6 gesetzt, ungerade Zahlen um eins erhöht — die Goldbachsche Vermutung ist ja eine Aussage über gerade Zahlen. parseInt(eingabe.value, 10) davor macht aus dem Text des Eingabefelds eine ganze Zahl; die 10 gibt an, dass die Ziffern im Zehnersystem zu lesen sind.

for (let summand = 3; summand <= zahl / 2; summand = summand + 2) {
  if (istPrim(summand) && istPrim(zahl - summand)) {
    const kopf = zeilen.length === 0 ? String(zahl) : "   ";
    zeilen.push(kopf + " = " + summand + " + " + (zahl - summand));
  }
}

Das ist die Suche selbst. Der erste Summand läuft von 3 in Zweierschritten aufwärts — nur ungerade Zahlen, denn außer 2 ist keine gerade Zahl prim. Für jeden Kandidaten prüft das && („und") zwei Bedingungen gleichzeitig: Der Summand muss prim sein und der Rest zahl - summand ebenfalls. Nur dann ist eine Zerlegung gefunden.

Die Schleife endet bei zahl / 2. Danach kämen nur noch Spiegelbilder bereits gefundener Summen — 512 = 509 + 3 ist dieselbe Zerlegung wie 512 = 3 + 509. Der Ausdruck mit dem Fragezeichen heißt Bedingungsoperator und ist eine Kurzform für „wenn … dann … sonst …": In der ersten Zeile steht die Zahl selbst, in allen weiteren nur drei Leerzeichen, damit die Gleichheitszeichen darunter bündig stehen.

liste.value = zeilen.join("\n");
ausgabe.innerHTML =
  "Goldbachzahl (" + zahl + ") = <strong>" + zeilen.length + "</strong>";

Gesammelt werden die Treffer in dem Feld zeilen — einem Array, also einer Liste von Werten. join("\n") hängt alle Einträge mit einem Zeilenumbruch dazwischen zu einem einzigen Text zusammen, der ins Textfeld geschrieben wird. Und weil ein Array seine Länge kennt, ist zeilen.length ganz nebenbei schon die gesuchte Goldbachzahl — es muss gar nicht extra mitgezählt werden.

Zum Anpassen: Die Konstante GRENZE ganz oben legt fest, wie große Zahlen zugelassen sind. Sie schützt davor, dass der Browser bei Millionenwerten minutenlang blockiert — wer einen schnellen Rechner hat, darf sie vorsichtig erhöhen. Und wenn ihr statt der Liste nur die Anzahl braucht, lasst einfach die Zeile mit zeilen.push(…) weg und zählt stattdessen mit anzahl++ hoch.